in AHP

Prinsip Analytical Hierarchial Process (AHP)

Saaty mengemukakan bahwa AHP dapat digunakan menggunakan 3 prinsip di bawah:

Decomposition

Pada tahapan ini suatu masalah didefinisikan terlebih dahulu kemudian dibagi menjadi kriteria-kriteria dan sub-sub kriteria yang lebih kecil atau sering disebut penyusunan masalah menjadi unsur-unsur pembentuknya. Hasil akhir dari tahapan ini adalah terbentuknya tingkatan-tingkatan dari suatu masalah. Oleh karena itu disebut hierarchy.

Gambar-2Comparative Judgment

Melakukan perbandingan antar kriteria maupun perbandingan antara pilihan pada tiap kriteria. Penilaian menggunakan nilai yang dipakai oleh Saaty dalam literaturnya seperti tercantum dalam tabel berikut.

Tabel 1. Skala Fundamental  

Intensitas Kepenting pada Skala Absolut Definisi Penjelasan
1 Sama Penting Kedua aktifitas/kriteria mempunyai bobot yang sama terhadap tujuan
3 Cukup Penting Pengalaman atau keputusan dalam menyukai aktifitas/kriteria satu terhadap lainnya
5 Penting Pengalaman atau keputusan dalam menyukai aktifitas/kriteria satu terhadap lainnya
7 Sangat Penting Pengalaman atau keputusan dalam menyukai aktifitas/kriteria satu terhadap lainnya
9 Ekstrim Penting (Mutlak) Bukti menunjukkan bahwa menyukai hal satu terhadap lainnya yang sangat kuat
2,4,6,8 Nilai tengah di antara dua keputusan Jika kompromi dibutuhkan
Berbalikan Jika aktifitas i memiliki nilai seperti yang telah disebutkan di atas terhadap j, maka j bernilai kebalikan jika dibandingkan terhadap i
Rasio Rasio yang didapat dari skala

Penilaian dilakukan dengan cara melakukan kuantifikasi atas suatu pernyataan atau dengan membandingkan satu kelompok nilai kemudian dikonversi pada rentang skala 1-9. Selain itu dapat pula digunakan skala rasio dengan membandingkan nilai antar populasi tersebut dengan jumlahnya.

Misalkan A1, A2, …, An merupakan satu set objek. Angka judgment pasangan objek Ai, Aj, disajikan dalam n x n matriks A = (aij), dimana i,j merupakan bilangan bulat = 1, 2, …, n. aij direpresentasikan menggunakan aturan tabel skala fundamental di atas:

  1. Peraturan 1. Jika bobot aij = a, maka aji= 1/a, a ≠ 0.
  2. Peraturan 2. Karena bobot aij = a, untuk setiap i=j maka aii = 1.

Menggunakan peraturan di atas maka matriks A (disebut matriks pairwaise comparison) didefinisikan sebagai berikut.

[A{\rm =}\left[ \begin{array}{cccc}{\rm 1} & a_{{\rm 12}} & \dots  & a_{{\rm 1}n} \\ {\rm 1/}a_{{\rm 12}} & {\rm 1} & \dots  & a_{{\rm 2}n} \\ \vdots  & \vdots  & \vdots  & \vdots  \\ {\rm 1/}a_{{\rm 1}n} & {\rm 1/}a_{{\rm 2}n} & \dots  & {\rm 1} \end{array}\right]\]

Setelah didapatkan angka judgement berpasangan untuk tiap pasangan (A1, A2) sebagai aij pada matriks A, masing-masing objek A1, A2, …, An dibobotkan nilai w1, …, wn. Sebagai ilustrasi, pada satu set objek dimisalkan buah A1, A2, …, An:

Buah A1 memiliki berat w1 = 6 kg.

Buah A2 memiliki berat w2 = 4 kg.

Maka dapat dikatakan bahwa buah A1 1,5 kali lebih berat daripada buah A2.

Menggunakan analogi di atas untuk setiap aij pada matriks A, maka:

{{w_i}\over {w_j}}=a_{ij}

sehingga sekarang didapatkan:

    \[A= \matrix{ &  \matrix{A_1 &  & A_n} \cr \matrix{A_1 \cr \cr A_n} & \left[ \matrix{{w_1}/{w_1} & \cdots  & {w_1}/{w_n} \cr \vdots  & \dots  & \vdots  \cr {w_n}/{w_1} & \cdots  & {w_n}/{w_n}} \right]}\]

Untuk menentukan prioritas tiap objek A1, A2, …, An maka digunakan Eigenvector Method.

    \[\matrix{ &  \matrix{A_1 &  & A_n} \cr \matrix{A_1 \cr \cr A_n} & \left[ \matrix{{w_1}/{w_1} & \cdots  & {w_1}/{w_n} \cr \vdots  & \dots  & \vdots  \cr {w_n}/{w_1} & \cdots  & {w_n}/{w_n}} \right]} \left[ \matrix{w_1 \cr \vdots  \cr w_n} \right]=n\left[ \matrix{w_1 \cr \vdots  \cr w_n} \right]\]

Jika n merupakan eigenvalue dari matriks A, maka w (matriks w1, w2, …, wn) adalah eigenvector yang berhubungan dengan matriks A. n disebut principal eigenvalue dari matriks A. Pengujian konsistensi nilai eigenvector dilakukan dengan menggunakan nilai Consistency Index (CI):

    \[CI={{?_{max}-n}\over {n-1}}\]

dimana λmax adalah eigenvalue terbesar dari matriks berordo n dengan persamaan sebagai berikut.

    \[?_{max}=\sum^n_{j=1}{\left(\sum^n_{i=1}{{{w_i}\over {w_j}}}\right)}\times Principle\ Eigenvector\]

Apabila CI bernilai 0 maka matriks dikatakan konsisten. Batas ketidakkonsistensian ditetapkan oleh Saaty dan diukur menggunakan Consistency Ratio (CR):

    \[CR={{CI}\over {RI}}\]

dengan RI merupakan Random Index untuk setiap nilai Orde seperti terlihat pada tabel berikut.

Ordo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R.I. 0 0 0.52 0.89 1.11 1.25 1.35 1.40 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59

Saaty mengemukakan bahwa nilai w dapat diterima jika Consistency Ratio kurang atau sama dengan 10%. Jika CR lebih besar dari 10% maka diperlukan review terhadap judgement sehingga nilai CR menjadi di bawah atau sama dengan 10%.

Di dalam bahasan nantinya akan ada alternatif di atas 15 buah sehingga diperlukan suatu pendekatan lain untuk mengecek konsistensi dari suatu matriks pairwaise comparison tersebut. Oleh karena itu, untuk mendapatkan nilai Consistency Ratio yang lebih banyak terhadap banyak ordo/alternatif, José Antonio Alonso dalam jurnal ilmiahnya melakukan eksperimen menggunakan pendekatan yang berbeda untuk mengukur Consistency pada AHP. Matriks dikatakan konsisten hanya jika memenuhi persyaratan berikut:

    \[?_{max}\le n+a(1,7699n-4,3513)\]

λmax adalah eigenvalue terbesar yang diperbolehkan

α adalah level of consistency

Synthesis of Priority

Tahapan akhir dari AHP adalah penjumlahan tiap bobot yang didapat untuk masing-masing kriteria setelah kriteria tersebut diselesaikan (Comparative Judgment) menggunakan eigenvector method.

Write a Comment

Comment